BLOG / TEORÍA DE JUEGOS Y REDES
 
Carlos Rodríguez-Sickert
Ph.D. Cambridge, Reino Unido.
 
Teoría de Juegos y Redes
ESTRATEGIAS: El equilibrio de Nash en el juego de la inundación
Publicación 2 de 4, Clases del MBA - UDD todos los domingos en El Mercurio
Si viene el río, dos vecinos se enfrentan a un dilema: ¿eligen proteger el pasaje o su propia casa?
Nov
29
2015

Lo que le da el carácter de dilema (prisionero e inundación) es que si bien el equilibrio de Nash predice el desenlace no cooperativo, existe uno alternativo en que ambos verían mejorada su posición.



En el equilibrio de Nash no existe un jugador que posea incentivos para la desviación unilateral del desenlace propuesto como equilibrio.
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Un juego simétrico


Un juego es una representación estilizada de una situación en la que existe interdependencia estratégica. Dado el conjunto de reglas que enfrenta un grupo de jugadores, para predecir qué estrategia implementará cada uno, deberíamos conocer sus motivaciones y aplicar el concepto de equilibrio que corresponda según las características del juego (información completa o incompleta, perfecta o imperfecta; interacción simultánea o secuencial).

Hoy analizaremos un juego simétrico en el que dos jugadores deciden simultáneamente entre dos estrategias. Los posibles cuatro desenlaces de este juego surgen exclusivamente de las combinaciones de estrategias que implementa cada jugador. La ausencia de fuentes externas de incertidumbre hace de este juego un juego de información completa. El que los jugadores tomen su decisión en forma simultánea, hace que este juego, además, sea de información imperfecta, pues en el momento de tomar la decisión no conoce la estrategia que ha implementado su contraparte. En juegos de interacción simultánea, información completa e imperfecta, corresponde aplicar el Equilibrio de Nash. En este último no existe un jugador que posea incentivos para la desviación unilateral del desenlace propuesto como equilibrio.



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¿DEFIENDO TU CASA?
Vamos a presentar un juego de suma distinta de cero que, al incorporar una tensión entre el interés individual y el colectivo, se ha transformado en la versión canónica de un dilema recurrente en la vida social, económica y política. En este caso veremos que la predicción que resulta de esta tensión es un equilibrio en que los individuos pierden oportunidades asociadas a la potencial sinergía de su interacción. Al menos bajo el supuesto de que cada agente solo busca su interés propio.

En su primera expresión, este dilema canónico representa el problema de acción colectiva que viven los miembros de una comunidad urbana frente a un desastre de la naturaleza. Específicamente y producto de inusuales lluvias primaverales, dos vecinos enfrentan la salida un canal a un par de cuadras del pasaje sin salida que comparten. Mientras la subida del río se acerca al pasaje común, cada uno puede elegir solo una de las posibles acciones: ir a defender la entrada del pasaje, descuidando la entrada de la casa propia o defender la casa propia dejando la entrada del pasaje al eventual cuidado del vecino.
En la Figura 1 se presentan las consecuencias en términos del daño a cada propiedad asociadas a la combinación de las estrategias posibles.

Veamos ahora la representación formal y el equilibrio bajo el supuesto de un comportamiento egoísta.
Asumiendo que la estructura del juego y las preferencias de cada vecino son de conocimiento común, podemos representar el juego como una matriz de doble entrada. Las celdas asociadas a cada desenlace contienen un par ordenado con los pagos asociados a cada vecino. El primer elemento del par ordenado corresponde al pago asociado al jugador fila (vecino que reside en la casa azul) y el segundo al pago del jugador columna (vecino que reside en la casa azul). Si consideramos que la única variable relevante para cada ciudadano es el estado de su propia casa, podemos expresar los pagos asociados a cada desenlace como un número negativo asociado a la cantidad de agua que le entra a la casa del propietario.



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Asumiendo que la racionalidad de los agentes es de conocimiento común y que estos optimizan para el actual juego de sus oponentes, podemos utilizar como herramienta predictiva el equilibrio de Nash.
Cuando se dice que en un equilibrio de Nash no existen incentivos para desviarse unilateralmente, esto se traduce en que para testear si un desenlace determinado es o no un equilibrio de Nash, debemos verificar que no existe un jugador que pueda mejorar su posición cambiando de estrategia dada la que implemente el resto en dicho desenlace.

Para el juego de la inundación, solo el desenlace en que ambos vecinos cuidan su propia casa constituye un equilibrio de Nash. El desenlace en que ambos defienden el pasaje común no es un equilibrio de Nash, pues dado que mi vecino está defendiendo el pasaje, mi estrategia óptima no es cuidar del pasaje también, sino cuidar mi propia casa.

¿Cooperar o no cooperar? Esa es la cuestión


Las propiedades de este juego corresponden a un caso particular de suma distinta de 0 que por su recurrencia en la vida social, política y económica y por la relevancia de lo que se juega en cada una de sus expresiones, constituye un dilema canónico que se puede expresar de forma general de la siguiente forma.


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DILEMA DEL PRISIONERO
Consideremos el famoso Dilema del Prisionero. En este juego, dos sospechosos son detenidos en las cercanías del lugar de un crimen y la policía comienza aplicar las técnicas de interrogatorio por separado. Cada uno de ellos tiene la posibilidad de elegir entre confesar acusando a su compañero, o de no hacerlo. Si ninguno de ellos confiesa, entonces ambos pasarán un año en prisión acusados de cargar un arma sin autorización. Si ambos confiesan y se acusan mutuamente, los dos irán a prisión por 10 años cada uno, pero si solo uno confiesa y acusa a su compañero, al implicado le caerán 20 años y el acusador saldrá libre por colaborar con la policía.


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Lo que le da el carácter de dilema tanto al caso del prisionero como al juego de la inundación u otros con esta estructura (por ejemplo, el de los cazadores que enfrentan el mamut o los miembros de una organización a los que se les asignan premios al desempeño grupal) es que si bien la aplicación del equilibrio de Nash predice el desenlace no cooperativo en que ambos jugadores obtienen un pago de P, existe un desenlace alternativo en que ambos verían mejorada su posición, obteniendo un pago de R.
En términos técnicos se dice que el equilibrio predicho no es un óptimo de Pareto. Según el criterio de Pareto un estado económico A será preferible a un estado económico B, si y solo si, cada uno de los agentes individuales están en el estado A al menos en el mismo nivel de utilidad que en el estado B y, por lo menos uno está mejor.

Si de acuerdo con el criterio de Pareto existe un desenlace alternativo que se prefiere al equilibrio, este no constituye un equilibrio de Pareto.
El premio nobel Amartya Sen habla de “Rational fools” para referirse a esta aparente contradicción entre la racionalidad individual (entendida en su forma reducida, como búsqueda del interés propio) y la “irracionalidad” del desenlace.

El próximo domingo se estudiará además del rol de normas sociales cooperativas, el papel que puede tener la implementación de reglas aportadas por una tercera parte en la superación del dilema, por ejemplo, de multas al comportamiento no cooperativo o recompensas al cooperativo.
Asimismo, se estudiará la forma en que la repetición de este juego cambia la estructura de incentivos y por ende su equilibrio.

HASTA EL DOMINGO



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Última actualización: 12 de Noviembre de 2018 a las 17:43